समान्तर माध्य (Mean) निकालने का सूत्र क्या है?

समान्तर माध्य = सभी प्रेक्षणों का योग ÷ प्रेक्षणों की संख्या. यह आंकड़ों के केंद्रीय मान को दर्शाता है.

माध्यिका (Median) कैसे निकाली जाती है?

आंकड़ों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने के बाद, यदि प्रेक्षणों की संख्या n विषम हो तो माध्यिका = ((n+1)/2)वां पद, और n सम हो तो माध्यिका = (n/2)वें व (n/2+1)वें पद का औसत होती है.

बहुलक (Mode) क्या होता है?

किसी आंकड़ा समुच्चय में सबसे अधिक बार आने वाला मान बहुलक कहलाता है. यदि सभी मान भिन्न-भिन्न हों तो उस समुच्चय का कोई बहुलक नहीं होता.

पाई चार्ट में किसी भाग का केंद्रीय कोण कैसे निकालते हैं?

केंद्रीय कोण = (उस भाग का मान / कुल योग) × 360°, क्योंकि सम्पूर्ण वृत्त सदैव 360° का होता है.

SUPER TET परीक्षा में सांख्यिकी से कितने प्रश्न आते हैं?

SUPER TET, UPTET और अन्य समकक्ष परीक्षाओं में सांख्यिकी खंड से सामान्यतः 2 से 4 प्रश्न पूछे जाते हैं, जिनमें माध्य-माध्यिका-बहुलक व आंकड़ा निरूपण दोनों शामिल हो सकते हैं.

UP SUPERTET · गणित (MATHEMATICS) · टॉपिक 13 · सांख्यिकी

सांख्यिकी (Statistics) — माध्य, माध्यिका, बहुलक व पाई चार्ट सूत्र तथा 30 MCQ

समान्तर माध्य (Mean), माध्यिका (Median), बहुलक (Mode) व परिसर (Range) के सूत्र, तथा पाई चार्ट का केंद्रीय कोण निकालने की विधि — हर सूत्र सरल भाषा में, हर भाग के हल किए उदाहरण व अंत में 30 अभ्यास MCQ उत्तर कुंजी सहित.

माध्य-माध्यिका-बहुलक पाई चार्ट सूत्र 30 MCQ + उत्तर कुंजी शब्द समस्याएं

टॉपिक 13 / 13

सांख्यिकी (Statistics) — माध्य, माध्यिका, बहुलक व पाई चार्ट सूत्र तथा 30 MCQ

पिछले टॉपिक में हमने क्षेत्रमिति पढ़ी थी. सांख्यिकी गणित की वह शाखा है जो आंकड़ों को इकट्ठा करने, व्यवस्थित करने व उनका विश्लेषण करने से संबंधित है. यह टॉपिक SUPER TET, UPTET, CTET, Railway, SSC व Police जैसी लगभग हर परीक्षा में 2 से 4 प्रश्नों के रूप में पूछा जाता है — और यह हमारी 13-टॉपिक गणित सीरीज़ का अंतिम टॉपिक है.

★ समान्तर माध्य (Mean)

परिभाषा

किसी आंकड़ा समुच्चय के सभी प्रेक्षणों के योग को प्रेक्षणों की संख्या से भाग देने पर प्राप्त मान समान्तर माध्य कहलाता है.

माध्य = सभी प्रेक्षणों का योगप्रेक्षणों की संख्या

उदाहरण 1

10, 15, 20, 25, 30 का माध्य ज्ञात कीजिए.

हल : सभी संख्याओं का योग लेकर संख्या से भाग देते हैं.

योग = 10+15+20+25+30 = 100 माध्य = 1005

✅माध्य :20

उदाहरण 2

5 संख्याओं का माध्य 20 है. यदि इनमें से एक संख्या जो 25 थी उसे 30 से बदल दिया जाए, तो नया माध्य ज्ञात कीजिए.

हल : पुराना योग निकालकर परिवर्तन करते हैं.

पुराना योग = 20 × 5 = 100 नया योग = 100 − 25 + 30 = 105 नया माध्य = 1055

✅नया माध्य :21

शॉर्ट ट्रिक जब एक मान बदले, तो पूरा योग दोबारा जोड़ने की ज़रूरत नहीं — केवल (नया मान − पुराना मान) को मूल योग में जोड़ दीजिए.

★ माध्यिका (Median)

सूत्र

आंकड़ों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करें, फिर — n विषम हो तो माध्यिका = n+12वां पद n सम हो तो माध्यिका = n2वें व (n2+1)वें पद का औसत

उदाहरण 1 (विषम संख्या)

5, 3, 8, 9, 1 की माध्यिका ज्ञात कीजिए.

हल : पहले आरोही क्रम में सजाते हैं.

क्रम में : 1, 3, 5, 8, 9 n = 5 (विषम), माध्यिका = 3रा पद

✅माध्यिका :5

उदाहरण 2 (सम संख्या)

4, 8, 15, 16, 23, 42 की माध्यिका ज्ञात कीजिए.

हल : डेटा पहले से ही आरोही क्रम में है, n=6 (सम).

3रा व 4था पद = 15, 16 माध्यिका = 15 + 162

✅माध्यिका :15.5

★ बहुलक (Mode)

परिभाषा

किसी आंकड़ा समुच्चय में सबसे अधिक बार आने वाला मान बहुलक कहलाता है.

उदाहरण 1

2, 3, 3, 5, 3, 7, 2 का बहुलक ज्ञात कीजिए.

हल : प्रत्येक मान की आवृत्ति गिनते हैं.

2 → 2 बार, 3 → 3 बार, 5 → 1 बार, 7 → 1 बार

✅बहुलक :3

Super Tet Tip यदि सभी मान भिन्न-भिन्न हों (कोई पुनरावृत्ति न हो), तो उस समुच्चय का कोई बहुलक नहीं होता. एक से अधिक बहुलक होने पर आंकड़े को "द्विबहुलक" या "बहुबहुलक" कहा जाता है.

★ परिसर (Range)

परिसर = अधिकतम मान − न्यूनतम मान

उदाहरण 1

12, 45, 6, 89, 23 का परिसर ज्ञात कीजिए.

हल : अधिकतम व न्यूनतम मान पहचानते हैं.

अधिकतम = 89, न्यूनतम = 6 परिसर = 89 − 6

✅परिसर :83

ध्यान रखें यदि सभी प्रेक्षणों में समान संख्या जोड़ या घटा दी जाए, तो माध्य, माध्यिका व बहुलक भी उतना ही बदलते हैं, परंतु परिसर (Range) में कोई परिवर्तन नहीं होता.

★ पाई चार्ट (Pie Chart) का केंद्रीय कोण

सूत्र

केंद्रीय कोण = उस भाग का मानकुल योग × 360°

उदाहरण 1

किसी विद्यालय के 300 विद्यार्थियों में से 90 विद्यार्थी क्रिकेट खेलना पसंद करते हैं. पाई चार्ट में क्रिकेट को दर्शाने वाला केंद्रीय कोण ज्ञात कीजिए.

हल : केंद्रीय कोण सूत्र लगाते हैं.

केंद्रीय कोण = 90300 × 360°

✅केंद्रीय कोण :108°

शॉर्ट ट्रिक पहले उस भाग का प्रतिशत निकाल लें (यहाँ 90/300=30%), फिर 360° का उतना प्रतिशत ले लें — 30% का 360° = 108°.

उदाहरण 2 (भारित माध्य)

एक कक्षा के 10 विद्यार्थियों में से 4 विद्यार्थियों ने 8-8 अंक तथा शेष 6 विद्यार्थियों ने 6-6 अंक प्राप्त किए. कक्षा का माध्य अंक ज्ञात कीजिए.

हल : कुल योग निकालकर कुल विद्यार्थियों से भाग देते हैं.

योग = (4 × 8) + (6 × 6) = 32 + 36 = 68 माध्य = 6810

✅माध्य अंक :6.8

परीक्षा में याद रखने की तालिका

माप	सूत्र
माध्य (Mean)	योग ÷ संख्या
माध्यिका (n विषम)	(n+1)/2 वां पद
माध्यिका (n सम)	दो मध्य पदों का औसत
बहुलक (Mode)	सबसे अधिक बार आने वाला मान
परिसर (Range)	अधिकतम − न्यूनतम
पाई चार्ट कोण	(भाग/कुल) × 360°

अभ्यास MCQ · 30 प्रश्न

नीचे दिए गए प्रश्न SUPER TET, UPTET, CTET एवं Assistant Teacher भर्ती परीक्षाओं के स्तर के अनुसार तैयार किए गए हैं और इसी अध्याय पर आधारित हैं. पहले स्वयं हल करें, फिर नीचे दी गई उत्तर कुंजी से मिलान करें.

प्रश्न 1

10, 15, 20, 25, 30 का माध्य होगा —

(a) 18
(b) 19
(c) 20
(d) 21

प्रश्न 2

1, 3, 5, 8, 9 की माध्यिका होगी —

(a) 3
(b) 5
(c) 8
(d) 9

प्रश्न 3

4, 8, 15, 16, 23, 42 की माध्यिका होगी —

(a) 15
(b) 15.5
(c) 16
(d) 19.5

प्रश्न 4

2, 3, 3, 5, 3, 7, 2 का बहुलक होगा —

(a) 2
(b) 3
(c) 5
(d) 7

प्रश्न 5

12, 45, 6, 89, 23 का परिसर होगा —

(a) 77
(b) 80
(c) 83
(d) 86

प्रश्न 6

प्रथम 10 प्राकृत संख्याओं का माध्य होगा —

(a) 5
(b) 5.5
(c) 6
(d) 6.5

प्रश्न 7

5 संख्याओं का माध्य 18 है. उनका योग होगा —

(a) 80
(b) 85
(c) 90
(d) 95

प्रश्न 8

8 संख्याओं का योग 200 है. उनका माध्य होगा —

(a) 20
(b) 22
(c) 25
(d) 28

प्रश्न 9

5 संख्याओं का माध्य 20 है. यदि एक संख्या जो 25 थी उसे 30 से बदल दिया जाए, तो नया माध्य होगा —

(a) 20
(b) 21
(c) 22
(d) 23

प्रश्न 10

5, 7, 7, 8, 9, 9, 9, 10 का बहुलक होगा —

(a) 7
(b) 8
(c) 9
(d) 10

प्रश्न 11

10 संख्याओं का माध्य 15 है. यदि प्रत्येक संख्या में 3 जोड़ दिया जाए, तो नया माध्य होगा —

(a) 15
(b) 16
(c) 17
(d) 18

प्रश्न 12

n प्रेक्षण (विषम) आरोही क्रम में व्यवस्थित हैं. माध्यिका किस पद के बराबर होती है?

(a) n/2 वां
(b) (n+1)/2 वां
(c) (n−1)/2 वां
(d) n वां

प्रश्न 13

300 विद्यार्थियों में से 90 क्रिकेट पसंद करते हैं. पाई चार्ट में उनका केंद्रीय कोण होगा —

(a) 98°
(b) 100°
(c) 108°
(d) 120°

प्रश्न 14

पाई चार्ट में सम्पूर्ण वृत्त कितने अंश का होता है?

(a) 180°
(b) 270°
(c) 360°
(d) 720°

प्रश्न 15

2, 4, 4, 6, 8, 4 का बहुलक होगा —

(a) 2
(b) 4
(c) 6
(d) 8

प्रश्न 16

एक आंकड़ा समुच्चय में अधिकतम मान 95 तथा न्यूनतम मान 42 है. परिसर होगा —

(a) 43
(b) 48
(c) 53
(d) 58

प्रश्न 17

6 संख्याओं का माध्य 20 है. एक 7वीं संख्या 48 जोड़ने पर नया माध्य होगा —

(a) 22
(b) 23
(c) 24
(d) 25

प्रश्न 18

तीन क्रमागत प्राकृत संख्याओं की माध्यिका 15 है. उनका योग ज्ञात कीजिए.

(a) 42
(b) 44
(c) 45
(d) 48

प्रश्न 19

जब किसी आंकड़ा समुच्चय में एक से अधिक बहुलक हों, तो उसे क्या कहते हैं?

(a) एकल बहुलक
(b) द्विबहुलक
(c) त्रिबहुलक
(d) शून्य बहुलक

प्रश्न 20

10 विद्यार्थियों में से 4 ने 8-8 अंक तथा 6 ने 6-6 अंक प्राप्त किए. माध्य अंक होंगे —

(a) 6.4
(b) 6.6
(c) 6.8
(d) 7.0

प्रश्न 21

11 प्रेक्षणों (विषम) में माध्यिका कौन सा पद होगी?

(a) 5वां
(b) 5.5वां
(c) 6वां
(d) 6.5वां

प्रश्न 22

3, 5, 7, 9, 11 का परिसर होगा —

(a) 6
(b) 7
(c) 8
(d) 9

प्रश्न 23

यदि सभी प्रेक्षणों में समान संख्या जोड़ दी जाए, तो परिसर (Range) पर क्या प्रभाव पड़ेगा?

(a) बढ़ेगा
(b) घटेगा
(c) कोई परिवर्तन नहीं
(d) शून्य हो जाएगा

प्रश्न 24

12, 15, 15, 18, 20, 15, 22 की माध्यिका होगी —

(a) 15
(b) 16
(c) 17
(d) 18

प्रश्न 25

कुल अंक 600 में से किसी विषय में 150 अंक हैं. पाई चार्ट में केंद्रीय कोण होगा —

(a) 80°
(b) 85°
(c) 90°
(d) 95°

प्रश्न 26

यदि आंकड़े समान अंतराल पर हों (समांतर श्रेणी), तो —

(a) माध्य > माध्यिका
(b) माध्य < माध्यिका
(c) माध्य = माध्यिका
(d) कोई संबंध नहीं

प्रश्न 27

1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 6 का बहुलक होगा —

(a) 2
(b) 4
(c) 5
(d) 6

प्रश्न 28

5 संख्याओं का माध्य 15 है. एक छठी संख्या 45 जोड़ने पर नया माध्य होगा —

(a) 18
(b) 19
(c) 20
(d) 21

प्रश्न 29

यदि किसी भाग का मान कुल आंकड़ों का 40% है, तो पाई चार्ट में उसका केंद्रीय कोण होगा —

(a) 140°
(b) 142°
(c) 144°
(d) 146°

प्रश्न 30

यदि आंकड़ा समुच्चय में सभी मान भिन्न-भिन्न हों (कोई पुनरावृत्ति न हो), तो बहुलक क्या कहलाता है?

(a) शून्य
(b) एक
(c) बहुलक रहित
(d) अनंत

✅ उत्तर कुंजी (Answer Key)

1-c

2-b

3-b

4-b

5-c

6-b

7-c

8-c

9-b

10-c

11-d

12-b

13-c

14-c

15-b

16-c

17-c

18-c

19-b

20-c

21-c

22-c

23-c

24-a

25-c

26-c

27-c

28-c

29-c

30-c

Practice Tip माध्य, माध्यिका व बहुलक तीनों "केंद्रीय प्रवृत्ति" (Central Tendency) के माप हैं, पर तीनों अलग-अलग बातें बताते हैं — माध्य औसत दर्शाता है, माध्यिका बीच का मान, और बहुलक सबसे सामान्य मान. प्रश्न पढ़ते समय ध्यान दें कि किसकी मांग की जा रही है.