UP SUPERTET · गणित (MATHEMATICS) · टॉपिक 02 · संख्याओं के योग-वर्ग-घन के सूत्र

संख्याओं के योग, वर्ग, घन व गुणनखंड के सूत्र — पूरा टॉपिक एक जगह

प्रथम n प्राकृत संख्याओं का योग, वर्गों का योग, घनों का योग, सम-विषम संख्याओं का योग तथा किसी संख्या के कुल गुणनखंड निकालने का सूत्र — हर सूत्र सरल भाषा में समझाया गया, हर सूत्र के साथ कम से कम 3 हल किए उदाहरण, याद रखने की ट्रिक और अंत में 30 अभ्यास MCQ उत्तर कुंजी सहित.

6 सूत्र हर सूत्र के 3+ उदाहरण 30 MCQ + उत्तर कुंजी शिक्षक की ट्रिक

टॉपिक 02 / 13

संख्याओं के योग, वर्ग, घन व गुणनखंड के सूत्र

यदि आप UP Assistant Teacher, SUPER TET, UPTET, CTET, DSSSB, KVS, NVS, Railway, SSC या Police जैसी किसी भी प्रतियोगी परीक्षा की तैयारी कर रहे हैं, तो यह अध्याय आपके लिए बेहद महत्वपूर्ण है. लगभग हर परीक्षा में प्रथम n प्राकृत संख्याओं का योग, वर्गों-घनों का योग, सम-विषम संख्याओं का योग तथा किसी संख्या के कुल गुणनखंडों की संख्या से जुड़े 2 से 5 प्रश्न सीधे पूछे जाते हैं. इन छह सूत्रों को यदि ठीक से समझ लिया जाए तो पूरा टॉपिक कुछ ही मिनटों में हल हो जाता है — बस शर्त यह है कि सूत्र रटने की बजाय समझे जाएँ.

★ प्रथम n प्राकृत संख्याओं का योग

परिभाषा

प्राकृत संख्याएँ 1 से आरंभ होती हैं — 1, 2, 3, 4, 5, . . यदि 1 से लेकर n तक की सभी संख्याओं को एक-एक करके जोड़ना पड़े तो यह बहुत समय लेने वाला काम होगा. इसीलिए एक सीधा सूत्र प्रयोग किया जाता है, जिससे बड़ी से बड़ी संख्या का योग कुछ सेकंड में निकल जाता है.

सूत्र

1 + 2 + 3 + 4 + . . . + n = n(n + 1) / 2

याद रखने की ट्रिक दो लगातार संख्याओं — n और (n+1) — को आपस में गुणा करके 2 से भाग दे दीजिए. यानी n × (n+1) ÷ 2. यह सूत्र केवल प्रथम n प्राकृत संख्याओं (1 से n तक) के लिए ही लागू होता है.

उदाहरण

उदाहरण 1

प्रथम 10 प्राकृत संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए.

हल : सूत्र = n(n+1)/2, यहाँ n = 10

योग = 10 × 11 ÷ 2

= 110 ÷ 2

योग = 55 Ans.

उदाहरण 2

प्रथम 50 प्राकृत संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए.

हल : n = 50

योग = 50 × 51 ÷ 2

= 25 × 51

योग = 1275 Ans.

उदाहरण 3

प्रथम 100 प्राकृत संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए.

हल : n = 100

योग = 100 × 101 ÷ 2

= 50 × 101

योग = 5050 Ans.

ध्यान दें : यह सूत्र केवल 1 से n तक के योग के लिए है. यदि प्रश्न "25 से 75 तक के योग" जैसा हो, तो पहले 1 से 75 तक का योग निकालें, फिर उसमें से 1 से 24 तक का योग घटा दें.

★ प्रथम n संख्याओं के वर्गों का योग

परिभाषा

कई परीक्षाओं में सीधे पूछा जाता है — 1² + 2² + 3² + . . . + n² का योग कितना होगा? हर संख्या का वर्ग निकालकर जोड़ना समय बर्बाद करेगा, इसलिए यह सूत्र प्रयोग किया जाता है.

सूत्र

1² + 2² + 3² + . . . + n² = n(n + 1)(2n + 1) / 6

याद रखने की ट्रिक तीन लगातार भागों — n, (n+1) और (2n+1) — को आपस में गुणा करके अंत में 6 से भाग दें. यानी n × (n+1) × (2n+1) ÷ 6.

उदाहरण

उदाहरण 1

प्रथम 5 प्राकृत संख्याओं के वर्गों का योग ज्ञात कीजिए.

हल : n = 5

योग = 5 × 6 × 11 ÷ 6

= 5 × 11

योग = 55 Ans.

जाँच : 1²+2²+3²+4²+5² = 1+4+9+16+25 = 55 ✓

उदाहरण 2

प्रथम 10 प्राकृत संख्याओं के वर्गों का योग ज्ञात कीजिए.

हल : n = 10

योग = 10 × 11 × 21 ÷ 6

योग = 385 Ans.

उदाहरण 3

प्रथम 20 प्राकृत संख्याओं के वर्गों का योग ज्ञात कीजिए.

हल : n = 20

योग = 20 × 21 × 41 ÷ 6

योग = 2870 Ans.

उदाहरण 4

प्रथम 15 प्राकृत संख्याओं के वर्गों का योग ज्ञात कीजिए.

हल : n = 15

योग = 15 × 16 × 31 ÷ 6

योग = 1240 Ans.

Super Tet Tip यदि प्रश्न में "प्रथम n संख्याओं के वर्गों का योग" लिखा हो तो हमेशा यही सूत्र लगेगा. यदि "5² से 25² तक" जैसा प्रश्न हो, तो पहले 1² से 25² तक का योग निकालें और फिर उसमें से 1² से 4² तक का योग घटा दें.

★ प्रथम n प्राकृत संख्याओं के घनों का योग

परिभाषा

यह अध्याय भी परीक्षाओं में बार-बार पूछा जाता है — 1³ + 2³ + 3³ + . . . + n³. यहाँ भी हर संख्या का घन अलग-अलग निकालने की ज़रूरत नहीं, सीधे सूत्र लगाया जाता है.

सूत्र

1³ + 2³ + 3³ + . . . + n³ = [n(n + 1) / 2]²

सबसे आसान ट्रिक पहले n(n+1)/2 निकालिए (यानी प्राकृत संख्याओं का योग वाला सूत्र), फिर उसका पूरा वर्ग (Square) कर दीजिए.

उदाहरण

उदाहरण 1

प्रथम 5 प्राकृत संख्याओं के घनों का योग ज्ञात कीजिए.

हल : n = 5

योग = [5 × 6 ÷ 2]²

= (15)²

योग = 225 Ans.

जाँच : 1³+2³+3³+4³+5³ = 1+8+27+64+125 = 225 ✓

उदाहरण 2

प्रथम 10 प्राकृत संख्याओं के घनों का योग ज्ञात कीजिए.

हल : n = 10

योग = [10 × 11 ÷ 2]²

= 55²

योग = 3025 Ans.

उदाहरण 3

प्रथम 15 प्राकृत संख्याओं के घनों का योग ज्ञात कीजिए.

हल : n = 15

योग = [15 × 16 ÷ 2]²

= 120²

योग = 14400 Ans.

ध्यान रखें बहुत से विद्यार्थी [n(n+1)/2]² की जगह गलती से n²(n+1)²/2 लिख देते हैं, जो गलत सूत्र है. हमेशा पहले पूरा भाग n(n+1)/2 निकालिए, उसके बाद ही उसका वर्ग कीजिए.

★ प्रथम n सम व विषम संख्याओं का योग

परिभाषा

सम संख्याएँ वे होती हैं जो 2 से पूर्णतः विभाजित हो जाती हैं — 2, 4, 6, 8, 10 . . और विषम संख्याएँ वे होती हैं जो 2 से विभाजित नहीं होतीं — 1, 3, 5, 7, 9 . . दोनों के योग के लिए अलग-अलग सीधे सूत्र हैं.

सूत्र

2 + 4 + 6 + 8 + . . . (प्रथम n सम संख्याएँ) = n(n + 1) 1 + 3 + 5 + 7 + . . . (प्रथम n विषम संख्याएँ) = n²

याद रखने की ट्रिक सम संख्या का योग = n × (n+1), विषम संख्या का योग = n का वर्ग. दोनों में यह ध्यान रखें कि n का मतलब कितनी संख्याएँ ली गई हैं, न कि अंतिम संख्या क्या है.

उदाहरण

उदाहरण 1

प्रथम 10 सम संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए.

हल : n = 10, सूत्र = n(n+1)

योग = 10 × 11

योग = 110 Ans.

जाँच : 2+4+6+8+10+12+14+16+18+20 = 110 ✓

उदाहरण 2

प्रथम 20 सम संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए.

हल : n = 20

योग = 20 × 21

योग = 420 Ans.

उदाहरण 3

प्रथम 10 विषम संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए.

हल : n = 10, सूत्र = n²

योग = 10²

योग = 100 Ans.

जाँच : 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19 = 100 ✓

उदाहरण 4

प्रथम 25 विषम संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए.

हल : n = 25

योग = 25²

योग = 625 Ans.

★ किसी संख्या के कुल गुणनखंडों की संख्या

परिभाषा

यदि किसी संख्या को अभाज्य गुणनखंडों (prime factors) के रूप में लिख दिया जाए, तो उसके कुल गुणनखंड (factors) कितने हैं — यह बिना गिने ही सूत्र से निकाला जा सकता है.

सूत्र

यदि N = a^p × b^q × c^r (a, b, c अभाज्य संख्याएँ हों), तो N के कुल गुणनखंड = (p + 1)(q + 1)(r + 1)

Shortcut Trick पहले संख्या का Prime Factorization कीजिए, फिर हर अभाज्य गुणनखंड की घात में 1 जोड़िए, और अंत में सभी को आपस में गुणा कर दीजिए.

उदाहरण

उदाहरण 1

72 के कुल गुणनखंड ज्ञात कीजिए.

हल : 72 = 2³ × 3²

गुणनखंड = (3+1)(2+1)

= 4 × 3

गुणनखंड = 12 Ans.

उदाहरण 2

360 के कुल गुणनखंड ज्ञात कीजिए.

हल : 360 = 2³ × 3² × 5¹

गुणनखंड = (3+1)(2+1)(1+1)

= 4 × 3 × 2

गुणनखंड = 24 Ans.

उदाहरण 3

480 के कुल गुणनखंड ज्ञात कीजिए.

हल : 480 = 2⁵ × 3¹ × 5¹

गुणनखंड = (5+1)(1+1)(1+1)

= 6 × 2 × 2

गुणनखंड = 24 Ans.

उदाहरण 4

108 के कुल गुणनखंड ज्ञात कीजिए.

हल : 108 = 2² × 3³

गुणनखंड = (2+1)(3+1)

= 3 × 4

गुणनखंड = 12 Ans.

परीक्षा में याद रखने की तालिका

सूत्र	Shortcut
प्रथम n प्राकृत संख्याओं का योग	n(n+1) / 2
प्रथम n वर्गों का योग	n(n+1)(2n+1) / 6
प्रथम n घनों का योग	[n(n+1)/2]²
प्रथम n सम संख्याओं का योग	n(n+1)
प्रथम n विषम संख्याओं का योग	n²
कुल गुणनखंड	(p+1)(q+1)(r+1)

Exam Tip इन छह सूत्रों से लगभग हर शिक्षक भर्ती परीक्षा में 2 से 5 प्रश्न पूछे जाते हैं. यदि इन्हें अच्छी तरह याद कर लिया जाए और 30–40 प्रश्नों का अभ्यास कर लिया जाए, तो गणित का यह हिस्सा बहुत आसान हो जाता है.

अभ्यास MCQ · 30 प्रश्न

नीचे दिए गए प्रश्न SUPER TET, UPTET, CTET एवं Assistant Teacher भर्ती परीक्षाओं के स्तर के अनुसार तैयार किए गए हैं और इसी अध्याय के सूत्रों पर आधारित हैं. पहले स्वयं हल करें, फिर नीचे दी गई उत्तर कुंजी से मिलान करें.

प्रश्न 1

प्रथम 20 प्राकृत संख्याओं का योग कितना होगा?

(a) 190
(b) 200
(c) 210
(d) 220

प्रश्न 2

प्रथम 30 प्राकृत संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए.

(a) 435
(b) 450
(c) 465
(d) 495

प्रश्न 3

प्रथम 15 प्राकृत संख्याओं के वर्गों का योग होगा —

(a) 1180
(b) 1200
(c) 1240
(d) 1260

प्रश्न 4

प्रथम 10 प्राकृत संख्याओं के वर्गों का योग कितना है?

(a) 355
(b) 365
(c) 375
(d) 385

प्रश्न 5

प्रथम 5 प्राकृत संख्याओं के घनों का योग होगा —

(a) 125
(b) 175
(c) 200
(d) 225

प्रश्न 6

प्रथम 10 प्राकृत संख्याओं के घनों का योग है —

(a) 3025
(b) 3050
(c) 3100
(d) 3150

प्रश्न 7

प्रथम 20 सम संख्याओं का योग कितना होगा?

(a) 380
(b) 400
(c) 420
(d) 440

प्रश्न 8

प्रथम 25 सम संख्याओं का योग ज्ञात करें.

(a) 600
(b) 625
(c) 650
(d) 675

प्रश्न 9

प्रथम 30 विषम संख्याओं का योग कितना होगा?

(a) 800
(b) 850
(c) 900
(d) 950

प्रश्न 10

प्रथम 40 विषम संख्याओं का योग होगा —

(a) 1500
(b) 1550
(c) 1600
(d) 1650

प्रश्न 11

यदि 72 = 2³ × 3² तो 72 के कुल गुणनखंडों की संख्या होगी —

(a) 10
(b) 11
(c) 12
(d) 13

प्रश्न 12

यदि 108 = 2² × 3³ तो उसके कुल गुणनखंडों की संख्या है —

(a) 10
(b) 11
(c) 12
(d) 13

प्रश्न 13

360 के कुल गुणनखंडों की संख्या होगी —

(a) 18
(b) 20
(c) 22
(d) 24

प्रश्न 14

प्रथम 100 प्राकृत संख्याओं का योग कितना होगा?

(a) 5000
(b) 5050
(c) 5100
(d) 5150

प्रश्न 15

प्रथम 50 प्राकृत संख्याओं के वर्गों का योग कितना होगा?

(a) 42500
(b) 42750
(c) 42925
(d) 43025

प्रश्न 16

प्रथम 25 प्राकृत संख्याओं का योग कितना होगा?

(a) 300
(b) 315
(c) 325
(d) 350

प्रश्न 17

प्रथम 40 प्राकृत संख्याओं का योग होगा —

(a) 780
(b) 800
(c) 820
(d) 840

प्रश्न 18

प्रथम 20 प्राकृत संख्याओं के वर्गों का योग कितना है?

(a) 2800
(b) 2850
(c) 2870
(d) 2890

प्रश्न 19

प्रथम 30 प्राकृत संख्याओं के वर्गों का योग होगा —

(a) 9255
(b) 9355
(c) 9455
(d) 9555

प्रश्न 20

प्रथम 15 प्राकृत संख्याओं के घनों का योग कितना होगा?

(a) 13200
(b) 14000
(c) 14400
(d) 15000

प्रश्न 21

प्रथम 20 प्राकृत संख्याओं के घनों का योग होगा —

(a) 42000
(b) 43000
(c) 44100
(d) 45000

प्रश्न 22

प्रथम 50 सम संख्याओं का योग कितना होगा?

(a) 2450
(b) 2500
(c) 2550
(d) 2600

प्रश्न 23

प्रथम 75 सम संख्याओं का योग होगा —

(a) 5600
(b) 5650
(c) 5700
(d) 5705

प्रश्न 24

प्रथम 25 विषम संख्याओं का योग कितना होगा?

(a) 600
(b) 625
(c) 650
(d) 675

प्रश्न 25

प्रथम 100 विषम संख्याओं का योग होगा —

(a) 1000
(b) 5000
(c) 10000
(d) 10100

प्रश्न 26

यदि 96 = 2⁵ × 3¹ तो उसके कुल गुणनखंडों की संख्या होगी —

(a) 10
(b) 11
(c) 12
(d) 14

प्रश्न 27

यदि 540 = 2² × 3³ × 5¹ तो उसके कुल गुणनखंड होंगे —

(a) 20
(b) 22
(c) 24
(d) 26

प्रश्न 28

यदि 180 = 2² × 3² × 5¹ तो कुल गुणनखंडों की संख्या होगी —

(a) 16
(b) 18
(c) 20
(d) 24

प्रश्न 29

प्रथम 50 प्राकृत संख्याओं का योग कितना होगा?

(a) 1250
(b) 1275
(c) 1300
(d) 1325

प्रश्न 30

निम्न में से कौन-सा सूत्र प्रथम n विषम संख्याओं के योग को व्यक्त करता है?

(a) n(n+1)
(b) n(n+1)/2
(c) n²
(d) n(n+1)(2n+1)/6

✅ उत्तर कुंजी (Answer Key)

1-c

2-c

3-c

4-d

5-d

6-a

7-c

8-c

9-c

10-c

11-c

12-c

13-d

14-b

15-c

16-c

17-c

18-c

19-c

20-c

21-c

22-c

23-c

24-b

25-c

26-c

27-c

28-b

29-b

30-c

Practice Tip इन 30 प्रश्नों को हल करते समय कैलकुलेटर का प्रयोग न करें — प्रतियोगी परीक्षा में गति बढ़ाने के लिए सूत्र याद होना ही काफी नहीं, उसे तेज़ी से लगाना भी आना चाहिए.