त्रिभुज के तीनों कोणों का योग कितना होता है?

किसी भी त्रिभुज के तीनों अंतःकोणों का योग सदैव 180° होता है, चाहे त्रिभुज किसी भी प्रकार का हो.

पाइथागोरस प्रमेय क्या है?

समकोण त्रिभुज में कर्ण का वर्ग शेष दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है, अर्थात (कर्ण)² = (आधार)² + (लंब)². यह केवल समकोण त्रिभुज पर लागू होता है.

n भुजाओं वाले बहुभुज के आंतरिक कोणों का योग तथा विकर्णों की संख्या कैसे निकालें?

आंतरिक कोणों का योग = (n−2) × 180°, तथा विकर्णों की संख्या = n(n−3)/2 सूत्र से निकाली जाती है.

वृत्त की स्पर्श रेखा (Tangent) का त्रिज्या से क्या संबंध है?

वृत्त की स्पर्श रेखा सदैव स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या के लंबवत (90°) होती है — यह वृत्त से जुड़े लगभग हर प्रश्न में प्रयोग होने वाला मूल नियम है.

SUPER TET परीक्षा में ज्यामिति से कितने प्रश्न आते हैं?

SUPER TET, UPTET और अन्य समकक्ष परीक्षाओं में ज्यामिति खंड के अंतर्गत कोण, त्रिभुज, चतुर्भुज व वृत्त से मिलाकर सामान्यतः 4 से 6 प्रश्न पूछे जाते हैं.

UP SUPERTET · गणित (MATHEMATICS) · टॉपिक 11 · ज्यामिति

ज्यामिति (Geometry) — कोण, त्रिभुज, चतुर्भुज व वृत्त सूत्र तथा 30 MCQ

कोणों के प्रकार, त्रिभुज के कोण-योग व बाह्य कोण गुणधर्म, पाइथागोरस प्रमेय, चतुर्भुज (समांतर चतुर्भुज, आयत, वर्ग, समचतुर्भुज) के गुणधर्म, बहुभुज के सूत्र तथा वृत्त की स्पर्श रेखा व जीवा सम्बन्धी नियम — हर सूत्र सरल भाषा में, हर भाग के हल किए उदाहरण व अंत में 30 अभ्यास MCQ उत्तर कुंजी सहित.

कोण व त्रिभुज पाइथागोरस प्रमेय 30 MCQ + उत्तर कुंजी वृत्त के नियम

टॉपिक 11 / 13

ज्यामिति (Geometry) — कोण, त्रिभुज, चतुर्भुज व वृत्त सूत्र तथा 30 MCQ

पिछले टॉपिक में हमने समय-चाल-दूरी पढ़ा था. ज्यामिति गणित का वह भाग है जो आकृतियों, कोणों व उनके गुणधर्मों का अध्ययन करता है. यह टॉपिक SUPER TET, UPTET, CTET, Railway, SSC व Police जैसी लगभग हर परीक्षा में 4 से 6 प्रश्नों के रूप में पूछा जाता है.

★ कोण (Angles) के प्रकार

परिभाषा

दो किरणों के मिलने से बना आकार कोण कहलाता है. परीक्षा में कोणों के आपसी संबंध वाले प्रश्न सबसे अधिक पूछे जाते हैं.

पूरक कोण (Complementary) : दो कोणों का योग = 90° संपूरक कोण (Supplementary) : दो कोणों का योग = 180° एक बिंदु के चारों ओर बने कोणों का योग = 360°

उदाहरण 1

दो कोण परस्पर पूरक हैं और एक कोण दूसरे से 40° अधिक है. दोनों कोण ज्ञात कीजिए.

हल : छोटा कोण x मानकर समीकरण बनाते हैं.

x + (x + 40) = 90 2x = 50 ⟹ x = 25

✅कोण :25° व 65°

★ त्रिभुज (Triangle) के गुणधर्म

सूत्र

त्रिभुज के तीनों कोणों का योग = 180° बाह्य कोण (Exterior Angle) = विपरीत दोनों अंतःकोणों का योग पाइथागोरस प्रमेय (केवल समकोण त्रिभुज में) : (कर्ण)² = (आधार)² + (लंब)²

उदाहरण 1

एक त्रिभुज के कोण 2:3:4 के अनुपात में हैं. सबसे बड़ा कोण ज्ञात कीजिए.

हल : कुल भाग = 2+3+4 = 9

प्रति भाग = 1809 = 20° सबसे बड़ा कोण = 4 × 20

✅सबसे बड़ा कोण :80°

उदाहरण 2

एक त्रिभुज का बाह्य कोण 110° है, और उसके विपरीत एक अंतःकोण 45° है. दूसरा विपरीत अंतःकोण ज्ञात कीजिए.

हल : बाह्य कोण = दोनों विपरीत अंतःकोणों का योग.

110 = 45 + x

✅दूसरा कोण :65°

उदाहरण 3 (पाइथागोरस प्रमेय)

एक समकोण त्रिभुज की दोनों भुजाएं 6 सेमी व 8 सेमी हैं. कर्ण की लंबाई ज्ञात कीजिए.

हल : पाइथागोरस प्रमेय लगाते हैं.

कर्ण² = 6² + 8² = 36 + 64

✅कर्ण :10 सेमी

शॉर्ट ट्रिक 3-4-5, 6-8-10, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25 जैसे पाइथागोरस त्रिक (triplets) याद रखें — गुणा-भाग किए बिना सीधे उत्तर मिल जाता है.

★ चतुर्भुज (Quadrilateral) के गुणधर्म

चतुर्भुज के चारों कोणों का योग = 360° समांतर चतुर्भुज (Parallelogram) : सम्मुख भुजाएं बराबर व समांतर, सम्मुख कोण बराबर, क्रमागत कोण संपूरक (योग 180°) आयत : सभी कोण 90°, विकर्ण बराबर | वर्ग : सभी भुजाएं व कोण बराबर, विकर्ण बराबर व लंबवत

उदाहरण 1

एक समांतर चतुर्भुज में एक कोण 70° है. उसका आसन्न (क्रमागत) कोण ज्ञात कीजिए.

हल : समांतर चतुर्भुज में क्रमागत कोण संपूरक होते हैं.

आसन्न कोण = 180 − 70

✅आसन्न कोण :110°

उदाहरण 2

एक आयत की लंबाई 12 सेमी तथा विकर्ण 13 सेमी है. उसकी चौड़ाई ज्ञात कीजिए.

हल : आयत में विकर्ण, लंबाई व चौड़ाई पाइथागोरस त्रिभुज बनाते हैं.

चौड़ाई² = 13² − 12² = 169 − 144

✅चौड़ाई :5 सेमी

★ बहुभुज (Polygon) के सूत्र

n भुजाओं वाले बहुभुज के आंतरिक कोणों का योग = (n − 2) × 180° बहुभुज के विकर्णों की संख्या = n(n − 3)2 किसी भी बहुभुज के बाह्य कोणों का योग सदैव = 360°

उदाहरण 1

एक षट्भुज (Hexagon) में कुल कितने विकर्ण होते हैं?

हल : n=6 रखकर सूत्र लगाते हैं.

विकर्ण = 6 × 32

✅विकर्णों की संख्या :9

★ वृत्त (Circle) के मूल नियम

व्यास = 2 × त्रिज्या वृत्त की स्पर्श रेखा (Tangent) सदैव स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या के लंबवत (90°) होती है व्यास द्वारा वृत्त की परिधि पर बना कोण (अर्धवृत्त का कोण) सदैव 90° होता है

उदाहरण 1

किसी वृत्त की त्रिज्या 5 सेमी है. वृत्त के बाहर एक बिंदु से केंद्र की दूरी 13 सेमी है. उस बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई ज्ञात कीजिए.

हल : त्रिज्या, स्पर्श रेखा व केंद्र-बिंदु दूरी पाइथागोरस त्रिभुज बनाते हैं.

स्पर्श रेखा² = 13² − 5² = 169 − 25

✅स्पर्श रेखा की लंबाई :12 सेमी

शॉर्ट ट्रिक त्रिज्या, स्पर्श रेखा व केंद्र-बिंदु दूरी हमेशा समकोण त्रिभुज बनाती हैं (स्पर्श रेखा ⊥ त्रिज्या) — इसलिए सीधे पाइथागोरस त्रिक लगाइए.

परीक्षा में याद रखने की तालिका

आकृति	मुख्य सूत्र
त्रिभुज के कोण	योग = 180°
चतुर्भुज के कोण	योग = 360°
पाइथागोरस प्रमेय	कर्ण² = आधार² + लंब²
बहुभुज आंतरिक कोण योग	(n−2) × 180°
बहुभुज विकर्ण संख्या	n(n−3)/2
वृत्त की स्पर्श रेखा	त्रिज्या के लंबवत

अभ्यास MCQ · 30 प्रश्न

नीचे दिए गए प्रश्न SUPER TET, UPTET, CTET एवं Assistant Teacher भर्ती परीक्षाओं के स्तर के अनुसार तैयार किए गए हैं और इसी अध्याय पर आधारित हैं. पहले स्वयं हल करें, फिर नीचे दी गई उत्तर कुंजी से मिलान करें.

प्रश्न 1

दो कोण परस्पर पूरक हैं, एक दूसरे से 40° अधिक है. छोटा कोण ज्ञात कीजिए.

(a) 20°
(b) 25°
(c) 30°
(d) 35°

प्रश्न 2

दो कोण परस्पर संपूरक हैं और 2:3 के अनुपात में हैं. बड़ा कोण ज्ञात कीजिए.

(a) 100°
(b) 104°
(c) 108°
(d) 112°

प्रश्न 3

एक त्रिभुज के कोण 2:3:4 अनुपात में हैं. सबसे बड़ा कोण होगा —

(a) 70°
(b) 75°
(c) 80°
(d) 85°

प्रश्न 4

त्रिभुज का बाह्य कोण 110° है, एक विपरीत अंतःकोण 45° है. दूसरा विपरीत अंतःकोण होगा —

(a) 55°
(b) 60°
(c) 65°
(d) 70°

प्रश्न 5

समकोण त्रिभुज की भुजाएं 6 सेमी व 8 सेमी हैं. कर्ण होगा —

(a) 9
(b) 10
(c) 11
(d) 12

प्रश्न 6

समकोण त्रिभुज का कर्ण 13 सेमी तथा एक भुजा 5 सेमी है. दूसरी भुजा होगी —

(a) 10
(b) 11
(c) 12
(d) 14

प्रश्न 7

त्रिभुज के तीनों अंतःकोणों का योग होता है —

(a) 90°
(b) 180°
(c) 270°
(d) 360°

प्रश्न 8

चतुर्भुज के चारों कोणों का योग होता है —

(a) 180°
(b) 270°
(c) 360°
(d) 450°

प्रश्न 9

समांतर चतुर्भुज में एक कोण 70° है. उसका आसन्न कोण होगा —

(a) 90°
(b) 100°
(c) 110°
(d) 120°

प्रश्न 10

एक आयत की लंबाई 12 सेमी व विकर्ण 13 सेमी है. चौड़ाई होगी —

(a) 4
(b) 5
(c) 6
(d) 7

प्रश्न 11

यदि किसी वृत्त की त्रिज्या 7 सेमी है, तो उसका व्यास होगा —

(a) 10
(b) 12
(c) 14
(d) 16

प्रश्न 12

वृत्त की त्रिज्या 5 सेमी है और बाहरी बिंदु से केंद्र की दूरी 13 सेमी है. स्पर्श रेखा की लंबाई होगी —

(a) 10
(b) 11
(c) 12
(d) 13

प्रश्न 13

व्यास द्वारा वृत्त की परिधि पर बना कोण (अर्धवृत्त का कोण) होता है —

(a) 45°
(b) 60°
(c) 90°
(d) 180°

प्रश्न 14

एक समद्विबाहु त्रिभुज का शीर्ष कोण 40° है. प्रत्येक आधार कोण होगा —

(a) 60°
(b) 65°
(c) 70°
(d) 75°

प्रश्न 15

किसी भी बहुभुज के बाह्य कोणों का योग होता है —

(a) 180°
(b) 270°
(c) 360°
(d) 720°

प्रश्न 16

यदि किसी समबहुभुज का प्रत्येक अंतःकोण 150° है, तो उसकी भुजाओं की संख्या होगी —

(a) 10
(b) 11
(c) 12
(d) 14

प्रश्न 17

एक समचतुर्भुज (Rhombus) के विकर्ण 6 सेमी व 8 सेमी हैं. भुजा की लंबाई होगी —

(a) 4
(b) 5
(c) 6
(d) 7

प्रश्न 18

6 सेमी व 8 सेमी विकर्ण वाले समचतुर्भुज का क्षेत्रफल होगा —

(a) 20
(b) 22
(c) 24
(d) 26

प्रश्न 19

एक त्रिभुज की दो भुजाएं 5 सेमी व 12 सेमी हैं तथा उनके बीच का कोण 90° है. तीसरी भुजा होगी —

(a) 11
(b) 12
(c) 13
(d) 14

प्रश्न 20

समकोण त्रिभुज में एक न्यूनकोण 35° है. दूसरा न्यूनकोण होगा —

(a) 45°
(b) 50°
(c) 55°
(d) 60°

प्रश्न 21

एक षट्भुज (n=6) में कुल विकर्णों की संख्या होगी —

(a) 6
(b) 8
(c) 9
(d) 10

प्रश्न 22

समषट्भुज (Regular Hexagon) का प्रत्येक अंतःकोण होगा —

(a) 100°
(b) 110°
(c) 120°
(d) 130°

प्रश्न 23

वृत्त की दो बराबर जीवाएं केंद्र से —

(a) समान दूरी पर होती हैं
(b) असमान दूरी पर होती हैं
(c) कोई संबंध नहीं होता
(d) केवल समकोण पर होती हैं

प्रश्न 24

वृत्त की स्पर्श रेखा त्रिज्या से किस कोण पर होती है?

(a) 45°
(b) 60°
(c) 90°
(d) 180°

प्रश्न 25

एक पंचभुज (Pentagon) के आंतरिक कोणों का योग होगा —

(a) 360°
(b) 450°
(c) 540°
(d) 600°

प्रश्न 26

त्रिभुज ABC में कोण A = 90° है, AB = 9 सेमी तथा AC = 12 सेमी है. BC ज्ञात कीजिए.

(a) 13
(b) 14
(c) 15
(d) 16

प्रश्न 27

त्रिभुज की तीनों माध्यिकाएं किस बिंदु पर मिलती हैं?

(a) परिकेंद्र (Circumcenter)
(b) केंद्रक (Centroid)
(c) लंबकेंद्र (Orthocenter)
(d) अंतःकेंद्र (Incenter)

प्रश्न 28

एक बिंदु के चारों ओर बने सभी कोणों का योग होता है —

(a) 180°
(b) 270°
(c) 360°
(d) 90°

प्रश्न 29

दो रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं और एक कोण 70° बनता है. उसका शीर्षाभिमुख कोण (Vertically Opposite Angle) होगा —

(a) 70°
(b) 90°
(c) 110°
(d) 180°

प्रश्न 30

त्रिभुज में दो कोणों का योग 110° है. तीसरा कोण ज्ञात कीजिए.

(a) 60°
(b) 65°
(c) 70°
(d) 75°

✅ उत्तर कुंजी (Answer Key)

1-b

2-c

3-c

4-c

5-b

6-c

7-b

8-c

9-c

10-b

11-c

12-c

13-c

14-c

15-c

16-c

17-b

18-c

19-c

20-c

21-c

22-c

23-a

24-c

25-c

26-c

27-b

28-c

29-a

30-c

Practice Tip ज्यामिति में हर आकृति का "कोण-योग" सूत्र सबसे पहले याद रखिए — त्रिभुज 180°, चतुर्भुज 360°, और n भुजाओं वाले बहुभुज के लिए (n−2)×180°. इसी एक सिद्धांत से अधिकांश कोण वाले प्रश्न हल हो जाते हैं.