अनुपात और समानुपात में क्या अंतर है?

अनुपात (Ratio) दो समान इकाई वाली राशियों की आपसी तुलना है, जैसे a:b. समानुपात (Proportion) दो अनुपातों की समानता को दर्शाता है, जैसे a:b :: c:d, जब a/b = c/d हो.

समानुपात में मध्य पद और चरम पद का गुणनफल नियम क्या है?

यदि a:b :: c:d समानुपात में हैं, तो चरम पदों (a,d) का गुणनफल मध्य पदों (b,c) के गुणनफल के बराबर होता है, अर्थात a×d = b×c.

चक्रवृद्धि अनुपात (Compound Ratio) क्या है?

दो या अधिक अनुपातों के संगत पदों को आपस में गुणा करके प्राप्त अनुपात चक्रवृद्धि अनुपात कहलाता है, जैसे a:b और c:d का चक्रवृद्धि अनुपात (a×c):(b×d) होता है.

किसी राशि को दिए गए अनुपात में विभाजित करने का सूत्र क्या है?

यदि कुल राशि x को a:b के अनुपात में बाँटना हो, तो पहला भाग = [a/(a+b)] × x और दूसरा भाग = [b/(a+b)] × x होता है.

SUPER TET परीक्षा में अनुपात-समानुपात से कितने प्रश्न आते हैं?

SUPER TET, UPTET और अन्य समकक्ष परीक्षाओं में संख्या पद्धति एवं अंकगणित खंड के अंतर्गत अनुपात-समानुपात टॉपिक से सामान्यतः 2 से 4 प्रश्न पूछे जाते हैं, और यह मिश्रण, साझेदारी जैसे टॉपिक की भी नींव है.

UP SUPERTET · गणित (MATHEMATICS) · टॉपिक 06 · अनुपात एवं समानुपात

अनुपात एवं समानुपात — सूत्र, ट्रिक व 30 MCQ

अनुपात व समानुपात की मूल अवधारणा, चरम-मध्य पद का गुणनफल नियम, चक्रवृद्धि अनुपात, राशि को अनुपात में बाँटना तथा आयु व मिश्रण आधारित शब्द समस्याएं — हर सूत्र सरल भाषा में, हर भाग के हल किए उदाहरण व अंत में 30 अभ्यास MCQ उत्तर कुंजी सहित.

मूल सूत्र चक्रवृद्धि अनुपात 30 MCQ + उत्तर कुंजी शब्द समस्याएं

टॉपिक 06 / 13

अनुपात एवं समानुपात — सूत्र, ट्रिक व 30 MCQ

पिछले टॉपिक में हमने प्रतिशत पढ़ा था. अनुपात-समानुपात भी उसी तरह भिन्न पर आधारित एक अवधारणा है, जो दो या अधिक राशियों की आपसी तुलना करती है. यह टॉपिक SUPER TET, UPTET, CTET, Railway, SSC व Police जैसी लगभग हर परीक्षा में 2 से 4 प्रश्नों के रूप में पूछा जाता है, और आगे मिश्रण, साझेदारी व आयु आधारित समस्याओं की नींव भी यही है.

★ अनुपात (Ratio) की मूल अवधारणा

परिभाषा

दो समान इकाई वाली राशियों की तुलना को अनुपात कहते हैं, जिसे a:b (या a/b) के रूप में लिखा जाता है. यहाँ a को पूर्ववर्ती (Antecedent) तथा b को उत्तरवर्ती (Consequent) कहते हैं.

a:b = a/b (जहाँ b ≠ 0)

उदाहरण 1

40 और 60 का अनुपात सरलतम रूप में ज्ञात कीजिए.

हल : दोनों संख्याओं के HCF से भाग देते हैं.

40:60 = 4060 HCF(40,60) = 20 से भाग देने पर

✅सरलतम अनुपात :2:3

शॉर्ट ट्रिक दोनों संख्याओं को उनके HCF से एक साथ भाग दे दीजिए — जो बचे वही सरलतम अनुपात है.

★ समानुपात (Proportion)

परिभाषा

जब दो अनुपात आपस में बराबर हों, तो उन्हें समानुपात में कहा जाता है — a:b :: c:d, जहाँ a व d चरम पद (Extremes) तथा b व c मध्य पद (Means) कहलाते हैं.

सूत्र

यदि a:b :: c:d हों, तो चरम पदों का गुणनफल = मध्य पदों का गुणनफल अर्थात a × d = b × c

उदाहरण 1

यदि 3:4 :: x:20 समानुपात में हैं, तो x ज्ञात कीजिए.

हल : चरम पदों का गुणनफल = मध्य पदों का गुणनफल.

3 × 20 = 4 × x 60 = 4x

✅x :15

Super Tet Tip यदि चार राशियाँ a, b, c, d समानुपात में हों तो उन्हें "a, b, c, d समानुपाती हैं" कहा जाता है, और तीसरा अनुपाती d सूत्र d = (b×c)/a से निकलता है.

★ चक्रवृद्धि अनुपात (Compound Ratio)

सूत्र

दो या अधिक अनुपातों के संगत पदों को आपस में गुणा करने पर प्राप्त अनुपात चक्रवृद्धि अनुपात कहलाता है. (a:b) और (c:d) का चक्रवृद्धि अनुपात = (a×c):(b×d)

उदाहरण 1

2:3 और 5:7 का चक्रवृद्धि अनुपात ज्ञात कीजिए.

हल : संगत पदों को आपस में गुणा करते हैं.

(2×5):(3×7)

✅चक्रवृद्धि अनुपात :10:21

★ राशि को दिए गए अनुपात में विभाजित करना

सूत्र

कुल राशि x को a:b में बाँटने पर — पहला भाग = aa+b × x, दूसरा भाग = ba+b × x

उदाहरण 1

2000 रुपये को A और B में 3:5 के अनुपात में बाँटिए. B का भाग ज्ञात कीजिए.

हल : कुल भाग = 3+5 = 8

B का भाग = 58 × 2000

✅B का भाग :1250 रुपये

शॉर्ट ट्रिक कुल राशि ÷ (अनुपात के पदों का योग) × संबंधित पद = सीधे उस व्यक्ति का भाग — यहाँ 2000 ÷ 8 = 250 प्रति इकाई, B = 5×250 = 1250.

ध्यान रखें यदि अनुपात तीन राशियों a:b:c में दिया हो, तो कुल राशि को (a+b+c) से भाग देकर प्रति इकाई मान निकालें, फिर हर राशि को उसके पद से गुणा कर दें.

★ अनुपात-समानुपात पर आधारित शब्द समस्याएं

उदाहरण 1 (आयु आधारित)

पिता और पुत्र की वर्तमान आयु का अनुपात 7:2 है. 5 वर्ष बाद यह अनुपात 8:3 हो जाएगा. पुत्र की वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए.

हल : वर्तमान आयु 7x व 2x मानते हैं.

7x + 52x + 5 = 83 3(7x+5) = 8(2x+5) 21x + 15 = 16x + 40 5x = 25 ⟹ x = 5

✅पुत्र की वर्तमान आयु :10 वर्ष

उदाहरण 2 (मिश्रण आधारित)

एक बर्तन में दूध और पानी 5:3 के अनुपात में मिले हैं. यदि कुल मिश्रण 64 लीटर है, तो दूध की मात्रा ज्ञात कीजिए.

हल : कुल भाग = 5+3 = 8

दूध = 58 × 64

✅दूध की मात्रा :40 लीटर

परीक्षा में याद रखने की तालिका

स्थिति	सूत्र
सरलतम अनुपात	दोनों संख्याओं को HCF से भाग दें
समानुपात जाँच	चरम पदों का गुणनफल = मध्य पदों का गुणनफल
चक्रवृद्धि अनुपात	संगत पदों को आपस में गुणा करें
राशि x को a:b में बाँटना	भाग = [a/(a+b)] × x
आयु आधारित प्रश्न	वर्तमान आयु को x से गुणा कर समीकरण बनाएं

अभ्यास MCQ · 30 प्रश्न

नीचे दिए गए प्रश्न SUPER TET, UPTET, CTET एवं Assistant Teacher भर्ती परीक्षाओं के स्तर के अनुसार तैयार किए गए हैं और इसी अध्याय पर आधारित हैं. पहले स्वयं हल करें, फिर नीचे दी गई उत्तर कुंजी से मिलान करें.

प्रश्न 1

40 और 60 का सरलतम अनुपात होगा —

(a) 3:4
(b) 2:3
(c) 4:5
(d) 3:5

प्रश्न 2

यदि 3:4 :: x:20 हैं, तो x का मान होगा —

(a) 12
(b) 15
(c) 18
(d) 20

प्रश्न 3

2:3 और 5:7 का चक्रवृद्धि अनुपात होगा —

(a) 7:10
(b) 10:21
(c) 21:10
(d) 15:14

प्रश्न 4

2000 रुपये को A और B में 3:5 के अनुपात में बाँटा गया. B का भाग होगा —

(a) 1150
(b) 1200
(c) 1250
(d) 1300

प्रश्न 5

एक मिश्रण में दूध और पानी 5:3 के अनुपात में हैं. कुल 64 लीटर मिश्रण में दूध की मात्रा होगी —

(a) 30 लीटर
(b) 35 लीटर
(c) 40 लीटर
(d) 45 लीटर

प्रश्न 6

पिता व पुत्र की आयु का अनुपात 7:2 है, 5 वर्ष बाद 8:3 हो जाता है. पुत्र की वर्तमान आयु होगी —

(a) 8 वर्ष
(b) 10 वर्ष
(c) 12 वर्ष
(d) 14 वर्ष

प्रश्न 7

दो संख्याओं का अनुपात 3:4 है और उनका योग 84 है. बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए.

(a) 36
(b) 42
(c) 48
(d) 52

प्रश्न 8

यदि a:b = 2:3 और b:c = 4:5 हो, तो a:b:c होगा —

(a) 8:12:15
(b) 2:3:5
(c) 4:6:9
(d) 6:9:10

प्रश्न 9

यदि x:y = 5:6, तो (3x+2y):(5x−2y) का मान होगा —

(a) 27:13
(b) 13:27
(c) 9:5
(d) 5:9

प्रश्न 10

तीन संख्याएँ 2:3:5 के अनुपात में हैं तथा उनका योग 100 है. सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए.

(a) 40
(b) 45
(c) 50
(d) 55

प्रश्न 11

36 का 27 से अनुपात सरलतम रूप में होगा —

(a) 4:3
(b) 3:4
(c) 5:4
(d) 4:5

प्रश्न 12

A, B और C में 1200 रुपये 2:3:5 में बाँटे गए. C का भाग होगा —

(a) 500
(b) 550
(c) 600
(d) 650

प्रश्न 13

यदि दो संख्याओं का अनुपात 5:6 है और उनका HCF 4 है, तो संख्याएँ होंगी —

(a) 15, 18
(b) 20, 24
(c) 25, 30
(d) 10, 12

प्रश्न 14

एक कक्षा में लड़कों व लड़कियों का अनुपात 4:5 है. यदि कुल विद्यार्थी 63 हों, तो लड़कों की संख्या ज्ञात कीजिए.

(a) 24
(b) 26
(c) 28
(d) 30

प्रश्न 15

यदि 4, 6, 8 और x समानुपात में हैं, तो x का मान होगा —

(a) 10
(b) 12
(c) 14
(d) 16

प्रश्न 16

यदि x:y = 3:4 हो, तो (2x+3y):(3x−y) का मान होगा —

(a) 18:5
(b) 5:18
(c) 9:5
(d) 5:9

प्रश्न 17

एक बर्तन में शक्कर व नमक 7:3 के अनुपात में मिले हैं. यदि नमक की मात्रा 12 किग्रा है, तो शक्कर की मात्रा होगी —

(a) 24 किग्रा
(b) 26 किग्रा
(c) 28 किग्रा
(d) 30 किग्रा

प्रश्न 18

दो संख्याओं का अनुपात 2:3 है. यदि दोनों में 2 जोड़ने पर अनुपात 3:4 हो जाए, तो छोटी संख्या ज्ञात कीजिए.

(a) 2
(b) 4
(c) 6
(d) 8

प्रश्न 19

A और B की आय का अनुपात 5:4 तथा व्यय का अनुपात 3:2 है. यदि दोनों 1800 रुपये बचाते हैं, तो A की आय होगी —

(a) 4200
(b) 4500
(c) 4800
(d) 5000

प्रश्न 20

यदि a:b = 5:7 है, तो (a+b):(a−b) का मान होगा —

(a) 6:1
(b) 1:6
(c) 12:2
(d) 2:12

प्रश्न 21

तीन मित्रों ने 4:5:6 के अनुपात में पूँजी लगाकर व्यापार किया. यदि कुल लाभ 4500 रुपये है, तो सबसे अधिक पूँजी लगाने वाले का हिस्सा होगा —

(a) 1500
(b) 1600
(c) 1700
(d) 1800

प्रश्न 22

दो संख्याओं का अनुपात 2:5 है और छोटी संख्या 20 है. बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए.

(a) 40
(b) 45
(c) 50
(d) 55

प्रश्न 23

यदि 2:x :: 8:12 समानुपात में हैं, तो x का मान होगा —

(a) 2
(b) 3
(c) 4
(d) 5

प्रश्न 24

A, B और C की आयु का अनुपात 3:5:7 है. यदि C की आयु 35 वर्ष है, तो A की आयु ज्ञात कीजिए.

(a) 12
(b) 15
(c) 18
(d) 21

प्रश्न 25

एक थैले में 1, 5 और 10 के सिक्के 2:3:4 के अनुपात में हैं. यदि कुल मूल्य 570 रुपये है, तो 10 रुपये के सिक्कों की संख्या ज्ञात कीजिए.

(a) 30
(b) 35
(c) 40
(d) 45

प्रश्न 26

यदि a:b :: b:c हो (सतत समानुपात), और a=4, c=9 हों, तो b का मान होगा —

(a) 5
(b) 6
(c) 6.5
(d) 7

प्रश्न 27

दो संख्याओं का अनुपात 3:5 है. यदि दोनों संख्याओं में से 9 घटाने पर अनुपात 12:23 हो जाए, तो बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए.

(a) 40
(b) 45
(c) 50
(d) 55

प्रश्न 28

यदि x, 12 और 16 सतत समानुपात (continued proportion) में हैं, अर्थात x:12 :: 12:16, तो x ज्ञात कीजिए.

(a) 6
(b) 8
(c) 9
(d) 10

प्रश्न 29

एक मिश्रण में अल्कोहल व पानी 3:2 के अनुपात में हैं. यदि इसमें 2 लीटर पानी और मिला दिया जाए तो अनुपात 3:4 हो जाता है. मूल मिश्रण में अल्कोहल की मात्रा ज्ञात कीजिए.

(a) 2 लीटर
(b) 3 लीटर
(c) 4 लीटर
(d) 5 लीटर

प्रश्न 30

यदि किसी राशि को A, B, C में 2:3:4 के अनुपात में बाँटा जाए और B का भाग 1500 रुपये हो, तो कुल राशि ज्ञात कीजिए.

(a) 4000
(b) 4200
(c) 4500
(d) 4800

✅ उत्तर कुंजी (Answer Key)

1-b

2-b

3-b

4-c

5-c

6-b

7-c

8-a

9-a

10-c

11-a

12-c

13-b

14-c

15-b

16-a

17-c

18-c

19-b

20-a

21-d

22-c

23-b

24-b

25-c

26-b

27-d

28-c

29-b

30-c

Practice Tip अनुपात के प्रश्नों में हमेशा राशियों को x से गुणा कर (जैसे 3x, 4x) समीकरण बनाइए — इससे आयु, मिश्रण व साझेदारी जैसे हर प्रकार के प्रश्न आसानी से हल हो जाते हैं.