UP SUPERTET · गणित (MATHEMATICS) · टॉपिक 1 · संख्या पद्धति

संख्या पद्धति (Number System)

संख्याओं के प्रकार, विभाज्यता के नियम और इकाई अंक निकालने की ट्रिक — सरल भाषा में समझाया गया कॉन्सेप्ट, ज़रूरी सूत्र, 10 हल किए हुए परीक्षा-स्तरीय प्रश्न और अभ्यास के लिए 30 MCQ, उत्तर कुंजी सहित.

सूत्र सूची 10 हल किए प्रश्न 30 MCQ + उत्तर कुंजी शिक्षक की ट्रिक

टॉपिक 01 / 13

संख्या पद्धति (Number System)

संख्या पद्धति गणित की नींव है — Supertet में लगभग हर वर्ष इससे 2-3 प्रश्न सीधे पूछे जाते हैं और बाकी सभी टॉपिक्स (LCM-HCF, भिन्न, प्रतिशत आदि) परोक्ष रूप से इसी पर आधारित होते हैं. इसलिए संख्याओं के प्रकार, विभाज्यता के नियम और इकाई अंक निकालने की विधि को रटने की बजाय ठीक से समझना ज़रूरी है.

★ संख्याओं के प्रकार

परिभाषाएँ

प्राकृत संख्याएँ (N) — 1, 2, 3, 4, . .
पूर्ण संख्याएँ (W) — 0, 1, 2, 3, . .
पूर्णांक (Z) — . ., -2, -1, 0, 1, 2, . .
परिमेय संख्याएँ (Q) — जिन्हें pq रूप में लिखा जा सके (q ≠ 0), जैसे 34, 0.75, -5
अपरिमेय संख्याएँ — √2, √3, π आदि जिन्हें भिन्न रूप में नहीं लिखा जा सकता
भाज्य संख्याएँ (Composite) — 1 और स्वयं के अतिरिक्त भी गुणनखंड रखने वाली संख्याएँ, जैसे 4, 6, 8, 9
अभाज्य संख्याएँ (Prime) — केवल 1 और स्वयं से विभाज्य, जैसे 2, 3, 5, 7, 11 . .

नोट

→ 1 न तो अभाज्य है और न ही भाज्य संख्या है
→ 2 एकमात्र ऐसी संख्या है जो सम भी है और अभाज्य भी
→ 0 न तो धनात्मक है न ऋणात्मक, परन्तु यह एक सम संख्या मानी जाती है

★ महत्वपूर्ण सूत्र एवं नियम

सूत्र सूची

प्रथम n प्राकृत संख्याओं का योग = n(n+1) / 2 प्रथम n संख्याओं के वर्गों का योग = n(n+1)(2n+1) / 6 प्रथम n संख्याओं के घनों का योग = [n(n+1)/2]² प्रथम n सम संख्याओं का योग = n(n+1) प्रथम n विषम संख्याओं का योग = n² यदि N = a^p × b^q × c^r (a,b,c अभाज्य), तो N के कुल गुणनखंडों की संख्या = (p+1)(q+1)(r+1)

★ विभाज्यता के नियम (Divisibility Rules)

विधि

संख्या से विभाज्यता	नियम
2	अंतिम अंक 0, 2, 4, 6, 8 हो
3	अंकों का योग 3 से विभाज्य हो
4	अंतिम दो अंकों से बनी संख्या 4 से विभाज्य हो
5	अंतिम अंक 0 या 5 हो
6	संख्या 2 और 3 दोनों से विभाज्य हो
8	अंतिम तीन अंकों से बनी संख्या 8 से विभाज्य हो
9	अंकों का योग 9 से विभाज्य हो
11	विषम स्थान के अंकों का योग − सम स्थान के अंकों का योग = 0 या 11 का गुणज

उदाहरण

जाँचिए कि 297, संख्या 9 से विभाज्य है या नहीं.
अंकों का योग = 2 + 9 + 7 = 18, तथा 18 ÷ 9 = 2 (शेष शून्य)
अतः 297, 9 से पूर्णतः विभाज्य है — हाँ

ध्यान दें

इकाई अंक (Unit Digit) निकालने की ट्रिक : किसी संख्या aⁿ का इकाई अंक निकालने के लिए, आधार a के इकाई अंक की चक्रीयता (cycle) देखें — जैसे 2 का चक्र 2,4,8,6 (4 पर दोहराता है), 3 का चक्र 3,9,7,1, और 7 का चक्र 7,9,3,1. घातांक को 4 से भाग देकर शेषफल के अनुसार चक्र में स्थान देखें (शेष 0 होने पर चौथा पद लें).

हल किए गए प्रश्न (परीक्षा पैटर्न)

प्रश्न 1

प्रथम 25 प्राकृत संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए.

हल :

प्रथम n प्राकृत संख्याओं का योग = n(n + 1) / 2

यहाँ n = 25

योग = 25(25+1) / 2

= (25 × 26) / 2

= 650 / 2

योग = 325 Ans.

प्रश्न 2

दो अंकों की एक संख्या के अंकों का योग 9 है. यदि अंकों को पलट दिया जाए तो प्राप्त संख्या मूल संख्या से 27 अधिक है. मूल संख्या ज्ञात कीजिए.

हल :

दो अंकों की संख्या = 10 × (दहाई का अंक) + (इकाई का अंक)

माना दहाई के स्थान का अंक = x, इकाई के स्थान का अंक = y

संख्या = 10x + y

प्रश्नानुसार, x + y = 9 ...(i)

अंकों को पलटने पर प्राप्त संख्या = 10y + x

प्रश्नानुसार, (10y + x) − (10x + y) = 27

= 9y − 9x = 27

= 9(y − x) = 27

y − x = 27 / 9

y − x = 3 ...(ii)

समीकरण (i) व (ii) को जोड़ने पर :

(x + y) + (y − x) = 9 + 3

2y = 12

y = 6

समीकरण (i) से : x = 9 − y

x = 9 − 6

x = 3

संख्या = 10x + y

= 10 × 3 + 6

= 30 + 6

संख्या = 36 Ans.

प्रश्न 3

7⁹⁵ का इकाई अंक ज्ञात कीजिए.

हल :

aⁿ का इकाई अंक ज्ञात करने के लिए, a की क्रमागत घातों के इकाई अंकों का चक्र (cycle) ज्ञात करते हैं, फिर घातांक को चक्र की लंबाई से भाग देकर शेषफल के अनुसार पद चुनते हैं

यहाँ a = 7, n = 95

7¹ = 7 → इकाई अंक 7

7² = 49 → इकाई अंक 9

7³ = 343 → इकाई अंक 3

7⁴ = 2401 → इकाई अंक 1

चक्र = 7, 9, 3, 1 (लंबाई = 4)

घातांक 95 को चक्र-लंबाई 4 से भाग देने पर :

95 = 4 × 23 + 3

शेषफल = 3

शेषफल 3 के संगत चक्र का तीसरा पद = 3

7⁹⁵ का इकाई अंक = 3 Ans.

प्रश्न 4

4 अंकों की सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करें जो 9 से पूर्णतः विभाज्य हो.

हल :

9 से विभाज्यता नियम : संख्या के अंकों का योग 9 से विभाज्य होना चाहिए

4 अंकों की सबसे बड़ी संख्या = 9999

अंकों का योग = 9 + 9 + 9 + 9

= 36

36 ÷ 9 = 4

शेषफल = 0

अतः 9999 स्वयं 9 से पूर्णतः विभाज्य है

अभीष्ट संख्या = 9999 Ans.

प्रश्न 5

संख्या 5,72,4y8 यदि 8 से विभाज्य है, तो y का न्यूनतम मान क्या होगा?

हल :

8 से विभाज्यता नियम : संख्या के अंतिम तीन अंकों से बनी संख्या 8 से विभाज्य होनी चाहिए

यहाँ अंतिम तीन अंक = 4y8

y = 0 रखने पर, अंतिम तीन अंक = 408

408 ÷ 8 = 51

शेषफल = 0

अतः y = 0 पर संख्या 8 से पूर्णतः विभाज्य है

y का न्यूनतम मान = 0 Ans.

प्रश्न 6

2 से 50 तक कुल कितनी अभाज्य संख्याएँ हैं?

हल :

2 से 50 के मध्य स्थित सभी अभाज्य संख्याओं को सूचीबद्ध करते हैं :

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47

इन्हें गिनने पर, कुल संख्याएँ = 15

अभीष्ट संख्या = 15 Ans.

प्रश्न 7

72 के कुल कितने गुणनखंड (factors) हैं?

हल :

यदि N = a^p × b^q (a, b अभाज्य) हो, तो N के कुल गुणनखंडों की संख्या = (p + 1)(q + 1)

72 का अभाज्य गुणनखंडन :

72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3

72 = 2³ × 3²

यहाँ p = 3, q = 2

गुणनखंडों की संख्या = (3 + 1)(2 + 1)

= 4 × 3

गुणनखंडों की संख्या = 12 Ans.

प्रश्न 8

संख्या 84,357 में अंक 3 का स्थानीय मान (place value) और अंकित मान (face value) में कितना अंतर है?

हल :

स्थानीय मान = अंक × उसके स्थान का मान; अंकित मान = अंक स्वयं

84,357 में अंक 3, सैकड़े (hundreds) के स्थान पर स्थित है

अंकित मान = 3

स्थानीय मान = 3 × 100

= 300

अंतर = स्थानीय मान − अंकित मान

= 300 − 3

अंतर = 297 Ans.

प्रश्न 9

प्रथम 15 विषम संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए.

हल :

प्रथम n विषम संख्याओं का योग = n²

यहाँ n = 15

योग = 15²

= 15 × 15

योग = 225 Ans.

प्रश्न 10

वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 545 में जोड़ने पर वह 11 से पूर्णतः विभाज्य हो जाए.

हल :

यदि किसी संख्या को भाजक से भाग देने पर शेषफल R बचे, तो उसे पूर्णतः विभाज्य बनाने हेतु जोड़ी जाने वाली न्यूनतम संख्या = भाजक − R

545 ÷ 11 :

11 × 49 = 539

शेषफल = 545 − 539

शेषफल = 6

जोड़ी जाने वाली संख्या = भाजक − शेषफल

= 11 − 6

जोड़ी जाने वाली संख्या = 5 Ans.

अभ्यास MCQ · 30 प्रश्न

प्रश्न 1

निम्न में से कौन-सी सबसे छोटी अभाज्य संख्या है?

(a) 0
(b) 1
(c) 2
(d) 3

प्रश्न 2

1 से 100 तक कुल कितनी अभाज्य संख्याएँ हैं?

(a) 24
(b) 25
(c) 26
(d) 23

प्रश्न 3

कौन-सी संख्या भाज्य (composite) संख्या है?

(a) 17
(b) 19
(c) 21
(d) 23

प्रश्न 4

दो क्रमागत विषम संख्याओं का योग 36 है. बड़ी संख्या क्या है?

(a) 17
(b) 19
(c) 21
(d) 15

प्रश्न 5

4 अंकों की सबसे छोटी संख्या जो 7 से विभाज्य हो, वह है:

(a) 1001
(b) 1000
(c) 1003
(d) 1007

प्रश्न 6

3⁴⁷ का इकाई अंक क्या होगा?

(a) 1
(b) 3
(c) 7
(d) 9

प्रश्न 7

संख्या 4,32,x18 में x का न्यूनतम मान क्या होगा ताकि संख्या 3 से विभाज्य हो जाए?

(a) 0
(b) 1
(c) 2
(d) 3

प्रश्न 8

प्रथम 10 प्राकृत संख्याओं के वर्गों का योग कितना है?

(a) 285
(b) 355
(c) 385
(d) 405

प्रश्न 9

कौन-सी संख्या 11 से विभाज्य है?

(a) 1234
(b) 2345
(c) 4576
(d) 90212

प्रश्न 10

यदि किसी संख्या को 6 से विभाजित करने पर 4 शेष बचता है, तो उसी संख्या को 3 से विभाजित करने पर शेष क्या होगा?

(a) 0
(b) 1
(c) 2
(d) 3

प्रश्न 11

96 के कुल कितने गुणनखंड हैं?

(a) 10
(b) 11
(c) 12
(d) 14

प्रश्न 12

दो अंकों की संख्या और उसके अंकों को पलटने से बनी संख्या का अंतर सदैव किससे विभाज्य होता है?

(a) 7
(b) 9
(c) 11
(d) 13

प्रश्न 13

√2 किस प्रकार की संख्या है?

(a) परिमेय
(b) अपरिमेय
(c) पूर्णांक
(d) प्राकृत

प्रश्न 14

2⁵⁰ का इकाई अंक क्या है?

(a) 2
(b) 4
(c) 6
(d) 8

प्रश्न 15

तीन अंकों की सबसे बड़ी संख्या जो 4 से पूर्णतः विभाज्य हो:

(a) 996
(b) 998
(c) 999
(d) 992

प्रश्न 16

प्रथम 8 सम संख्याओं का योग कितना होगा?

(a) 64
(b) 72
(c) 56
(d) 80

प्रश्न 17

एक संख्या के अंकों का योग 15 है. यह संख्या किससे विभाज्य होगी?

(a) 2
(b) 3
(c) 5
(d) 11

प्रश्न 18

संख्या 1 के बारे में कौन-सा कथन सत्य है?

(a) यह अभाज्य है
(b) यह भाज्य है
(c) यह न अभाज्य है न भाज्य
(d) यह सम अभाज्य है

प्रश्न 19

65,432 में अंक 4 का स्थानीय मान क्या है?

(a) 4
(b) 40
(c) 400
(d) 4000

प्रश्न 20

वह छोटी से छोटी संख्या जिसे 68 में से घटाने पर वह 7 से पूर्णतः विभाज्य हो जाए:

(a) 5
(b) 4
(c) 3
(d) 6

प्रश्न 21

120 के अभाज्य गुणनखंड (prime factors) में सबसे बड़ा गुणनखंड कौन-सा है?

(a) 2
(b) 3
(c) 5
(d) 15

प्रश्न 22

कौन-सी संख्या 6 से विभाज्य नहीं है?

(a) 312
(b) 522
(c) 764
(d) 918

प्रश्न 23

प्रथम 6 प्राकृत संख्याओं के घनों का योग कितना है?

(a) 441
(b) 461
(c) 431
(d) 401

प्रश्न 24

एक दो अंकों की संख्या और उसके अंकों के पलटने पर बनी संख्या का योग सदैव किससे विभाज्य होता है?

(a) 9
(b) 10
(c) 11
(d) 13

प्रश्न 25

100 से कम कितनी संख्याएँ 7 से पूर्णतः विभाज्य हैं?

(a) 13
(b) 14
(c) 15
(d) 16

प्रश्न 26

9⁵⁶ का इकाई अंक क्या होगा?

(a) 9
(b) 1
(c) 3
(d) 7

प्रश्न 27

कौन-सी संख्या भाज्य नहीं (यानी अभाज्य) है?

(a) 91
(b) 87
(c) 97
(d) 51

प्रश्न 28

0.6666. . को भिन्न में व्यक्त करने पर प्राप्त होता है:

(a) 13
(b) 23
(c) 35
(d) 69

प्रश्न 29

यदि n एक विषम संख्या है, तो n² सदैव होगा:

(a) सम
(b) विषम
(c) अभाज्य
(d) भाज्य

प्रश्न 30

4 अंकों की सबसे बड़ी संख्या जो 9 और 5 दोनों से विभाज्य हो:

(a) 9990
(b) 9945
(c) 9900
(d) 9955

✅ उत्तर कुंजी (Answer Key)

1-c

2-b

3-c

4-b

5-a

6-c

7-a

8-c

9-c

10-b

11-c

12-b

13-b

14-b

15-a

16-b

17-b

18-c

19-c

20-a

21-c

22-c

23-a

24-c

25-b

26-b

27-c

28-b

29-b

30-a