म.स. (HCF) एवं ल.स. (LCM) — सूत्र, विधियाँ व 30 MCQ
महत्तम समापवर्तक (HCF) और लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) निकालने की अभाज्य गुणनखंड विधि व भाग विधि, HCF × LCM = a × b का संबंध, भिन्नों का HCF-LCM तथा घंटी बजने व रस्सी काटने जैसी शब्द समस्याएं — हर विधि सरल भाषा में, हर भाग के हल किए उदाहरण व अंत में 30 अभ्यास MCQ उत्तर कुंजी सहित.
म.स. (HCF) एवं ल.स. (LCM) — सूत्र, विधियाँ व 30 MCQ
पिछले टॉपिक में हमने संख्याओं के योग, वर्ग, घन व गुणनखंडों की संख्या के सूत्र पढ़े थे. उसी कड़ी में अब हम HCF (महत्तम समापवर्तक) और LCM (लघुत्तम समापवर्त्य) पढ़ेंगे — यह टॉपिक SUPER TET, UPTET, CTET, Railway, SSC व Police जैसी लगभग हर परीक्षा में 2 से 4 प्रश्नों के रूप में पूछा जाता है, और घंटी बजने, रस्सी काटने, टंकी भरने जैसी शब्द समस्याएं भी इसी टॉपिक पर आधारित होती हैं.
★ म.स. (HCF — Highest Common Factor)
परिभाषादो या दो से अधिक संख्याओं का HCF वह सबसे बड़ी संख्या होती है जो दी गई सभी संख्याओं को पूर्णतः विभाजित कर दे. इसे "म.स." (महत्तम समापवर्तक) भी कहते हैं. HCF निकालने की दो मुख्य विधियाँ हैं — अभाज्य गुणनखंड विधि तथा भाग विधि.
विधि 1 — अभाज्य गुणनखंड विधि36 और 60 का HCF ज्ञात कीजिए.
हल : 36 = 2² × 3², 60 = 2² × 3 × 5
उभयनिष्ठ न्यूनतम घात = 2² × 3
HCF = 12 Ans.
48, 60 और 72 का HCF ज्ञात कीजिए.
हल : 48 = 2⁴ × 3, 60 = 2² × 3 × 5, 72 = 2³ × 3²
उभयनिष्ठ न्यूनतम घात = 2² × 3
HCF = 12 Ans.
भाग विधि से 84 और 132 का HCF ज्ञात कीजिए.
हल :
132 = 84 × 1 + 48
84 = 48 × 1 + 36
48 = 36 × 1 + 12
36 = 12 × 3 + 0
HCF = 12 Ans. (अंतिम भाजक)
★ ल.स. (LCM — Least Common Multiple)
परिभाषादो या दो से अधिक संख्याओं का LCM वह सबसे छोटी संख्या होती है जो दी गई सभी संख्याओं से पूर्णतः विभाजित हो जाए. इसे "ल.स." (लघुत्तम समापवर्त्य) भी कहते हैं.
विधि — अभाज्य गुणनखंड विधि12 और 18 का LCM ज्ञात कीजिए.
हल : 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3²
अधिकतम घात = 2² × 3²
LCM = 36 Ans.
4, 6 और 8 का LCM ज्ञात कीजिए.
हल : 4 = 2², 6 = 2 × 3, 8 = 2³
अधिकतम घात = 2³ × 3
LCM = 24 Ans.
★ HCF और LCM का आपसी संबंध
सूत्रदो संख्याओं का HCF 6 है और LCM 72 है. यदि एक संख्या 18 है, तो दूसरी संख्या ज्ञात कीजिए.
हल : HCF × LCM = a × b
6 × 72 = 18 × b
432 = 18b
b = 24 Ans.
दो संख्याओं का गुणनफल 1600 है और उनका HCF 20 है. उनका LCM ज्ञात कीजिए.
हल : LCM = (a × b) ÷ HCF
LCM = 1600 ÷ 20
LCM = 80 Ans.
★ भिन्नों (Fractions) का HCF एवं LCM
सूत्र2/3 और 4/9 का HCF ज्ञात कीजिए.
हल : अंशों का HCF(2,4) = 2, हरों का LCM(3,9) = 9
HCF = 2/9 Ans.
2/3 और 4/9 का LCM ज्ञात कीजिए.
हल : अंशों का LCM(2,4) = 4, हरों का HCF(3,9) = 3
LCM = 4/3 Ans.
★ HCF-LCM पर आधारित शब्द समस्याएं
"बराबर टुकड़े / सबसे बड़ा नाप / अधिकतम भरना" (रस्सी काटना, बर्तन भरना, टाइल बिछाना) → HCF लगेगा.
तीन घंटियाँ क्रमशः 20, 25 और 30 मिनट के अंतराल पर बजती हैं. यदि वे सुबह 6:00 बजे एक साथ बजी हों, तो अगली बार वे एक साथ कब बजेंगी?
हल : LCM(20, 25, 30)
20 = 2²×5, 25 = 5², 30 = 2×3×5
LCM = 2² × 3 × 5² = 300 मिनट = 5 घंटे
अगली बार = 6:00 + 5:00 = 11:00 बजे Ans.
48 मी, 60 मी और 72 मी लंबाई की तीन रस्सियों को बराबर टुकड़ों में इस प्रकार काटना है कि हर टुकड़ा अधिकतम लंबाई का हो. एक टुकड़े की लंबाई ज्ञात कीजिए.
हल : HCF(48, 60, 72)
48 = 2⁴×3, 60 = 2²×3×5, 72 = 2³×3²
HCF = 2² × 3
अधिकतम टुकड़ा = 12 मी Ans.
245 और 1029 को विभाजित करने पर हर बार 5 शेष बचता है. वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जो ऐसा करती है.
हल : पहले दोनों संख्याओं में से शेषफल घटाएँ
245 − 5 = 240, 1029 − 5 = 1024
HCF(240, 1024) = 16
अभीष्ट संख्या = 16 Ans.
| स्थिति | प्रयोग होगा |
|---|---|
| एक साथ बजना/मिलना/टकराना | LCM |
| बराबर व अधिकतम टुकड़े/नाप | HCF |
| घटाकर शेष हटाना (r शेष बचे, HCF) | संख्या − r का HCF |
| जोड़कर शेष मिलाना (r शेष बचे, LCM) | LCM + r |
| दो संख्याओं का संबंध | HCF × LCM = a × b |
नीचे दिए गए प्रश्न SUPER TET, UPTET, CTET एवं Assistant Teacher भर्ती परीक्षाओं के स्तर के अनुसार तैयार किए गए हैं और इसी अध्याय पर आधारित हैं. पहले स्वयं हल करें, फिर नीचे दी गई उत्तर कुंजी से मिलान करें.
18 और 24 का HCF कितना होगा?
8 और 12 का LCM कितना होगा?
36, 48 और 60 का HCF ज्ञात कीजिए.
15, 20 और 30 का LCM होगा —
दो संख्याओं का HCF 6 और LCM 72 है. यदि एक संख्या 18 है, तो दूसरी संख्या होगी —
दो संख्याओं का गुणनफल 1600 है, HCF 20 है. LCM ज्ञात कीजिए.
दो संख्याओं का HCF 5 और LCM 150 है. एक संख्या 25 है तो दूसरी संख्या होगी —
वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करें जो 245 व 1029 को भाग देने पर हर बार 5 शेष छोड़े.
वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात करें जिसे 6, 8, 12 से भाग देने पर हर बार 3 शेष बचे.
तीन घंटियाँ 4, 6, 8 मिनट के अंतराल पर बजती हैं. यदि वे सुबह 10:00 बजे साथ बजी हों, तो अगली बार साथ कब बजेंगी?
4/9 और 6/15 का HCF ज्ञात कीजिए.
2/3 और 4/9 का LCM ज्ञात कीजिए.
वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करें जो 398, 436, 542 को भाग देने पर क्रमशः 7, 11, 15 शेष छोड़े.
भाग विधि से 96 और 144 का HCF ज्ञात कीजिए.
24, 36 और 40 का LCM होगा —
दो संख्याएँ 4:5 के अनुपात में हैं और उनका LCM 140 है. उनका HCF ज्ञात कीजिए.
वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात करें जो 12, 15, 18 और 27 से पूर्णतः विभाजित हो.
0.63 और 1.05 का HCF होगा —
दो संख्याओं का HCF 12 और LCM 336 है. एक संख्या 48 है तो दूसरी संख्या होगी —
4 अंकों की वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करें जो 12, 15, 18 और 27 से पूर्णतः विभाजित हो.
5 अंकों की वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात करें जो 12, 15 और 18 से पूर्णतः विभाजित हो.
दो टंकियों में 850 लीटर व 680 लीटर पेट्रोल है. वह अधिकतम क्षमता का पात्र ज्ञात करें जो दोनों टंकियों के पेट्रोल को पूर्ण संख्या में माप सके.
8, 9 और 25 का LCM ज्ञात कीजिए.
यदि दो संख्याएँ सह-अभाज्य (co-prime) हों, अर्थात् उनका HCF 1 हो, तो उनका LCM होगा —
दो संख्याओं का गुणनफल 3600 है, HCF 10 है. उनका LCM ज्ञात कीजिए.
तीन संख्याएँ 2:3:4 के अनुपात में हैं और उनका LCM 240 है. उनका HCF ज्ञात कीजिए.
वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करें जो 285 व 1249 को भाग देने पर क्रमशः 9 व 7 शेष छोड़े.
दो क्रमागत सम संख्याओं (जैसे 8, 10) का HCF सदैव होता है —
चार घंटियाँ क्रमशः 6, 8, 12 और 18 सेकंड के अंतराल पर बजती हैं. यदि वे एक साथ बजी हों, तो अगली बार कितने सेकंड बाद साथ बजेंगी?
वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात करें जिसे 15, 20 और 25 से भाग देने पर हर बार 8 शेष बचे.